Não há informações suficientes aqui para responder com êxito à pergunta. E-mail pode parecer simples, mas há muitos lugares onde algo pode dar errado. Sem mais informações, existem várias possibilidades, como o Google simplesmente não entregar os e-mails, ou ter o domínio do destinatário definido como um trocador de mensagens local.
Portanto, isso será mais uma discussão sobre como você resolveria esse problema. Isso pressupõe acesso à linha de comando e algum conhecimento dela. Se você não tem isso, talvez seja necessário pedir ajuda ao seu anfitrião para isso.
Verifique os logs. Os logs de e-mail devem estar localizados em /var/log/exim_mainlog . A maneira mais fácil de fazer, assumindo que você tem pouco tráfego de e-mail no servidor, é tail -f dos logs e observe quando você envia. Caso contrário, você pode querer grep do log do endereço de e-mail. Cada entrada deve ter um ID de e-mail após o registro de data e hora. Você pode, então, pesquisar no log esse ID para obter uma lista de todas as linhas de registro pertencentes a esse email. Ou você encontrará um erro ou descobrirá que o email foi enviado.
Se houver um erro, ele deve fornecer mais informações sobre o que deu errado. Você estaria procurando por uma linha com ** . Se tiver um == , isso também mostrará um erro, mas está planejando tentar novamente. Você também pode querer verificar /etc/localdomains para ter certeza de que o domínio de recebimento não está lá. Se ele foi aceito por um servidor remoto, a linha com => deve conter uma seção C="..." . Esta é a resposta do servidor remoto. Supondo que comece com um status 250, ele foi aceito, e você pode entrar em contato com esse host, com essa entrada de log, para pedir que eles verifiquem o que aconteceu com o email. Esse status geralmente inclui um ID de e-mail ou um número de recibo que eles podem usar para rastrear o e-mail.
Você pode querer prestar atenção ao endereço IP para onde o e-mail está sendo enviado e ter certeza de que está correto. Meu palpite para esta situação é que o problema é com a maneira como esses domínios são configurados no seu servidor. Se ninguém pudesse enviá-los, provavelmente você teria notado isso, e você mencionou que poderia enviar e-mails com sucesso em outro lugar. Se o e-mail estivesse sendo rejeitado, você provavelmente teria recebido um e-mail de devolução. Mesmo assim, a única maneira de saber com certeza é verificar os registros.