Sim e não. Para que seu roteador de Internet forneça conectividade à Internet, ele deve ser o gateway . Em termos simples, um gateway une dois segmentos de rede que, de outra forma, seriam incapazes de se comunicar.
Tecnicamente, o segundo roteador pode fornecer serviços DHCP à sua rede, mas seria necessário informar aos clientes que o outro roteador é o gateway padrão. A maioria dos roteadores SOHO não permite que você especifique o gateway incluído em suas concessões DHCP, e se isso for verdade para o seu segundo roteador, você não conseguirá usá-lo da maneira que você imagina.
Você poderia conectar o segundo roteador diretamente ao roteador da Internet como o nó downstream do somente e conectar todos os seus clientes ao segundo roteador como faria normalmente, caso em que o segundo roteador seria seu gateway padrão, servidor DHCP, etc. Mas isso é uma má idéia. Adiciona complexidade desnecessária sem nenhum ganho útil e metade do tempo que tal configuração não funciona como pretendido.