Repos privados
Para ter repositórios privados em GitHub você tem que pagar, não há repositórios privados no plano gratuito. Como alternativa, você pode usar Bitbucket ou hospedar seu próprio servidor git, pode estar usando gitolite ou algo similar.
Sincronização de configuração
Você tem que clonar o repo apenas na primeira vez, então você pode simplesmente puxar do repositório remoto para manter a configuração atualizada em todos os servidores. Em vez de na inicialização você pode puxar por uma entrada cron, talvez a cada hora ou mais. Se necessário, você pode agendar no cron também alguns serviços reiniciar ou recarregar, para aplicar novas configurações. Você também deve considerar que cada repositório deve ter uma pasta raiz onde todos os arquivos e subpastas tenham que ser armazenados. Se você tiver dois locais de configuração diferentes, talvez precise usar vários repos.
Gerenciamento de configuração
A solução acima é o gerenciamento de configuração pobre, se você quiser algo mais estruturado e tiver tempo de investir para avaliar alguma solução de gerenciamento de configuração para melhor atender às suas necessidades, é possível verificar Ansible, Salt, Puppet ou Chef.