Não, isso não é possível. Quando você move uma pasta ou arquivo para outro local, o Dropbox processa a ação como adicionar e excluir. A pasta e os arquivos começam com um slate limpo. Qualquer histórico de versão anterior é anexado ao local anterior dessa pasta ou arquivo. Você pode restaurar itens excluídos do local anterior e restaurar diferentes versões de arquivos dessa maneira.
Se você quiser que o Dropbox mantenha o histórico da versão dos arquivos em todas as movimentações, será necessário enviar uma solicitação de aprimoramento por meio de fórum . Eu duvido que eles irão implementá-lo, pois adiciona um nível de complexidade desnecessária.