Não está claro qual é exatamente a sua pergunta. Se você já configurou new-domain.com
com seu provedor de hospedagem, então sim, tudo o que você precisa fazer é apontar seu domínio para os servidores de nomes da sua empresa de hospedagem. maudam explicou por que isso funciona.
OTOH, se tudo o que você fez foi configurar o novo domínio e não providenciou nada com o provedor de hospedagem, não só não haverá servidor da Web configurado para gerenciar seu site, mas até mesmo os servidores de nomes da empresa de hospedagem não saberão sobre new-domain.com
e apontar o DNS do seu novo domínio para esses servidores de nomes não funcionarão. Você deve envolver a empresa de hospedagem em qualquer nova configuração de domínio (além de configurar um redirecionamento no novo domínio para o domínio antigo).
OTTH, se você controlar seu próprio servidor com seu próprio IP estático, não precisará que a empresa de hospedagem faça nada, pois você mesmo pode configurar o servidor e o DNS não precisa ser delegado aos servidores de nomes da empresa de hospedagem .