Como sugerido em uma das respostas à pergunta no link da minha pergunta (que frase); fazer login no Unity 2D pode resolvê-lo. Não funcionou para mim. O que fez funcionar, no entanto, foi entrar no Gnome Classic (No Effects). A partir daí, eu poderia interagir com a caixa de diálogo de configurações e permitir o acesso à webcam e ao microfone para os sites de que preciso. Depois disso, voltando para Unity (normal), a webcam é ativada.