Eu não tenho experiência neste assunto, mas meu primeiro pensamento é que quando você detectar que a conexão com a internet está inativa, redirecione as solicitações DNS para um servidor DNS que mapeie todas as solicitações para um servidor web que diz "a internet está temporariamente inativa" (por exemplo, configure seu próprio servidor DNS e faça com que seu servidor DHCP forneça isso, possivelmente forçando a renovação de todas as concessões durante a mudança). Claro que isso só é visível quando a navegação na web, mas que vai pegar a grande maioria dos casos; para conexões que não são da Web, o cliente provavelmente notará que não está funcionando e tentará acessar a web. O outro lado negativo é que isso não afetará os clientes que substituem as configurações de DNS (por exemplo, eu sempre uso o DNS público do Google), mas acho que essa também é uma boa minoria. Eu acho que pode haver alguns problemas com o cache DNS do lado do cliente também.
Você provavelmente não deseja alterar o SSID por alguns motivos, incluindo, entre outros:
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A Internet em baixo / não será transparente para os usuários.
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Os usuários perderão a conexão Wi-Fi se mudarem.
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Os usuários não se conectarão automaticamente a "~ local only ~" a menos que escolham, e eu sei que não escolheria porque é um nome de rede que não reconheço (e não parece algo que eu gostaria de me conectar, por exemplo, em uma cafeteria).
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Os usuários provavelmente nem farão a associação entre sua rede pública e "~ local apenas ~" (ou necessariamente saberão o que "somente local" implica). Do ponto de vista deles, a rede pública desapareceu e, de forma independente, uma nova rede não reconhecida está presente.
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É meio desleixado (IMHO) e pode não ser uma ótima jogada de RP para o seu sistema.
Você também pode permitir que os usuários saibam de outras formas que a conexão geralmente não é confiável, por exemplo, se você tiver um site que descreva seu serviço.
Além disso, parece-me que hoje em dia o wi-fi é onipresente o suficiente para que, se o navegador da Web fizer o tempo necessário para fazer solicitações, eles geralmente cheguem à conclusão natural de que "a conexão com a Internet não está funcionando agora" sem você ter que dizer a eles - para que você não possa fazer nada - mas eu acho que redirecioná-los para uma página que diz que o serviço está inativo dará a melhor experiência possível.
Eu acho que esta é uma técnica diferente do portal cativo discutido nos comentários, já que está fora de cena inteiramente quando a internet está ativa e não envolve a manipulação de dados no lugar. No entanto, se você também não puder configurar seu próprio servidor DNS por algum motivo, eu definitivamente não faria nada em vez de trocar o SSID, que é essencialmente a mesma coisa se você considerar qual seria a resposta geral de um usuário diante do seu SSID público não estar mais presente e de um novo não reconhecido chamado "~ local only ~".