Isso exigiria algum tipo de VPN site a site. Como não há software de VPN executado no Chromecast, você precisa criar uma rede Wi-Fi conectada à VPN. Existem vários serviços que oferecem isso, como neorouter. Você poderia configurar o Neorouter em um laptop no hospital e em um computador em casa. Depois que ele for configurado, o Chromecast se conectará aos laptops Wi-Fi, o que o colocaria na mesma rede que o Neorouter.
Eu nunca tentei, mas deveria funcionar.