presumivelmente, os arquivos de log são apresentados como arquivos de texto & você está buscando por FTP ou algo assim?
Portanto, o navegador está se comportando como esperado, pois o arquivo que está sendo carregado é enorme e deve ser totalmente carregado antes que o navegador saiba que tem o fim dele - diferentemente de uma página HTML em que a renderização pode começar cedo se houver informações suficientes disponíveis. p>A maneira de contornar isso é ter mais "inteligência" no servidor. Você precisa de um navegador de log que seja capaz de fazer uma "cauda" no arquivo de log. Deve então atualizar a cada poucos segundos.
Você pode fazer isso manualmente usando PERL, PHP, Python ou Node.JS com muita facilidade se tiver permissão para adicionar essas coisas a um servidor da Web com acesso aos arquivos de log. Também há pacotes disponíveis para todos esses idiomas.
Eu não acho que você possa fazer isso no navegador, já que você não tem controle suficiente. Você poderia executar um proxy local que corta a conexão após uma quantidade definida de dados ou tempo. Experimente o Fiddler se estiver no Windows.