O problema parece estar relacionado ao Firefox (que era meu navegador padrão). Tendo alterado meu navegador padrão para o Google Chrome, os links no Windows Update agora funcionam bem. Se eu mudar o navegador padrão de volta para o Firefox, os links param de funcionar novamente.
É possível que a hora em que os links do Windows Update pararam de funcionar tenha coincidido com uma atualização do Firefox / extensão - mas não me lembro com certeza. Eu encontrei outro outro usuário no Fórum de Suporte do Firefox com um problema semelhante depois de uma atualização do Firefox - links em O MS Outlook parou de funcionar.