Depende de como o seu servidor cria pastas. Por exemplo, na minha conta do GMail usada com o Thunderbird 3.0, os e-mails são movidos da Caixa de entrada para Arquivos / Ano. Observe que, como o Gmail usa rótulos em vez de pastas, esse é um nome de rótulo e não a pasta Ano na pasta Arquivos. No serviço de e-mail do meu webhost, ele os armazena na pasta Year, que está na pasta Archives.
Em resposta à sua primeira pergunta, tudo o que você precisa fazer é mover a pasta da pasta Archives / Year para a caixa de entrada. Ou no Gmail, você só precisa marcá-lo como não lido e, opcionalmente, remover o marcador Archives / Year.
Eu não acredito que o Thunderbird exclua mensagens de arquivamento, mas estou apenas perdendo minha experiência.