A resposta de Evgeni Leshtanski me indicou o que realmente estava acontecendo. A questão não é "Como eu digo a um prompt aleatório qual é a minha senha?" mas sim "O que está acontecendo?"
No meu caso - e isso provavelmente afeta muitas pessoas - o culpado subjacente foi o Empathy. Não uso o Empathy, por isso não quero autenticar o Google Talk em meu nome. Agora aqui é onde fica interessante. Quando segui o exemplo do Evgeni e executei as Contas Online (em Configurações do Sistema), ele estava completamente despovoado. Isso ocorre porque ele é preenchido automaticamente quando aplicativos conectados a contas online atualizam as credenciais. Como nunca preenchei a caixa de diálogo Prompt de Acesso, isso nunca aconteceu e não tive nada a mudar.
A principal ação que está liderando esse comportamento na inicialização é que o Empathy usa como padrão "Conectar-se automaticamente na inicialização", mesmo que você não o use de verdade. Então, execute o Empathy, vá para Preferências e, na guia Geral, desmarque "Conectar automaticamente na inicialização".
No meu caso em particular, eu também tive que impedir que o Evolution checasse minha conta do Gmail antes que essa caixa de diálogo desaparecesse completamente.