O termo que você está procurando é VPS, ou "Virtual Private Server".
De Wikipedia :
A virtual private server (VPS) is a virtual machine sold as a service by an Internet hosting service.
A VPS runs its own copy of an operating system, and customers have superuser-level access to that operating system instance, so they can install almost any software that runs on that OS. For many purposes they are functionally equivalent to a dedicated physical server, and being software defined are able to be much more easily created and configured.
Uma VPN é uma " Rede Privada Virtual ", que é algo diferente. :)
Existem muitas empresas de hospedagem de servidores disponíveis para você escolher, com muitos tipos diferentes de servidores e preços, uma pequena pesquisa na Web deve levar você a investigar. :)