Você tem seu mapeamento invertido, deve ser:
:map e $
Mas sugiro que você use :nnoremap :
:nnoremap e $
O problema é que " e " já é um importante comando de movimento e mudar seu comportamento certamente causará problemas no futuro, especialmente se você decidir instalar qualquer plug-in que precise controlar o movimento do cursor.
Veja:
:help :nnoremap
:help e
Para responder à segunda parte da sua pergunta, convém mapear " <M-Right> " e " <M-Left> " para w / e e b , respectivamente.
Veja:
:help key-notation
(As informações nos prefixos modificadores estão perto da parte inferior da tabela nessa entrada de ajuda.)