Qual sistema operacional os dois computadores estão executando? Que tipo de conexão está atualmente fornecendo acesso à Internet para um computador?
Não tendo mencionado o SO, vou assumir o Windows. Além disso, por conexão via "LAN" eu estou supondo que você quer dizer via ethernet e tendo ambas as suas portas ethernet preenchidas, estou assumindo que a Internet conectada é provavelmente usando uma conexão wi-fi.
Se tudo isso estiver correto, faça o seguinte no computador WITH acesso à Internet:
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Abra o Painel de Controle e vá para Conexões de Rede. Dependendo da sua versão do Windows, talvez você precise seguir um link adicional chamado "Conexões de Rede" ou "Gerenciar Conexões de Rede".
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Agora, você deve ver ícones individuais para cada tipo de conexão de rede que seu computador suporta (provavelmente dois: "Conexão local" e "Conexão de rede sem fio")
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Você deseja clicar com o botão direito no método pelo qual a conexão com a Internet está disponível (sem fio) e selecionar "Propriedades".
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Dentro da janela "Propriedades", vá para a guia "Avançado".
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Aqui, tudo o que você precisa fazer é marcar a caixa "Permitir que outros usuários da rede se conectem através da conexão com a Internet deste computador".
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Se houver mais de duas conexões de rede disponíveis, haverá uma lista suspensa para selecionar em qual conexão de rede você deseja fornecer acesso à Internet.