Sim. Uma atribuição de IP estático permanecerá até você alterá-lo ou dizer que ele não seja mais estático.
Also, when assigning a static IP is it essential to do this both on the router and through the windows adapter settings or is only one required?
Se você quer dizer mudar o IP do seu roteador, não, você não quer fazer isso. Seu roteador precisa de um IP fixo exclusivo de todos os outros dispositivos em sua rede - e isso não deve mudar com muita frequência.
Um sistema pode obter um IP automaticamente por meio de um protocolo chamado DHCP (isso é o que acontece quando você usa a configuração "Obter um endereço IP automaticamente") e a maioria dos roteadores domésticos executa o DHCP. Muitos roteadores suportam algo chamado "reservas", onde o DHCP do roteador pode ser configurado para sempre fornecer um IP específico sempre que um sistema com um endereço MAC específico solicitar um. Isso é configurado e feito no roteador, e se você fizer isso, você quer deixar o sistema configurado para obter automaticamente um endereço.