Com a evolução da internet, os termos se tornaram um pouco confusos.
Quando pensamos em "a web", geralmente queremos dizer qualquer coisa que possa ser acessada e consumida por um navegador da web. Isso não quer dizer que é o único meio de acessá-lo - veja no Twitter e no Facebook. Um navegador da Web pode nem ser a melhor maneira de acessar esses serviços. Mas, como os comentários apontam, você pode acessar o FTP através de um navegador e alguns navegadores permitem que você use o IRC e outros protocolos tradicionalmente não-web.
E considere serviços como o WhatsApp - que se originou como serviços sem navegador, mas o acesso do navegador foi adicionado posteriormente. O serviço é o mesmo, mas os meios para acessá-lo se alteram com o tempo.
Assim, poderemos usar o protocolo e dizer que os serviços de base "http" fazem parte da web. Mas muitos não são. http é um protocolo tão onipresente que eu não ficaria surpreso se houvesse mais usuários não-web de http do que usuários dele.
Mesmo o SMTP pode ficar encapsulado dentro de um serviço HTTP durante uma parte de sua jornada - certamente não se torna "web" nesse ponto.
Para esclarecer um ponto na pergunta - o uso de www em um nome DNS significa menos. Não transmite nada sobre o serviço no endereço IP que resolve e não é um padrão de qualquer tipo. É apenas tradição usá-lo para sites, mas não há nada que o impeça de ser usado como ftp, message, smtp ou qualquer outro serviço.
Então, minha resposta é que não existe uma regra rígida e rápida para descrever qual é a parte da web na Internet e o que é tudo o resto. Serviços baseados na Internet podem ser acessados através de protocolos tradicionais da Web usando ferramentas tradicionais, e eles podem não, e podem mudar com o tempo. É apenas a internet agora e os serviços de internet são expostos através de vários protocolos e vários métodos de acesso.