Eu coloquei o antigo cooler de volta no lugar, notei que o som estava lá, mas muito menos audível, então reinstalei o novo cooler e o som ficou mais alto novamente. Pode ter estado lá o tempo todo, só não alto o suficiente.
Por fim, acabei alterando algumas configurações no BIOS, desabilitando o recurso Cool & Silencioso, controle de fãs e algumas outras coisas, e o barulho sumiu. Então eu reverti essas mudanças uma por uma para ver quem era o culpado, mas depois de reverter todas as mudanças eu ainda não ouvi o som novamente.
Não sei como, mas aparentemente isso resolveu meu problema.
Obrigado por todos os comentários.