Como @Frank Thomas mencionou em seu comentário, o Chrome e o Firefox provavelmente não suportam esse cenário nativamente, no entanto, não deve ser muito difícil fazê-lo funcionar. Você pode atribuir vários endereços IP à NIC, mas os navegadores não vincularão IP específico, eles acabarão usando apenas o IP / rota padrão.
Para que um navegador use um IP não padrão, eu configuraria um servidor proxy leve na mesma máquina. A maioria dos servidores proxy deve suportar ligação a um IP específico, você pode configurar o segundo navegador para usar o servidor proxy e o tráfego deve emergir desse IP.