O principal é obter o arquivo de origem (e fontes). A maioria dos profissionais usa um programa de ilustração baseado em vetor (como o Adobe Illustrator) porque os desenhos serão dimensionados sem bordas irregulares (aliasing), apesar do tamanho final de saída. Se o seu logotipo incluir uma fonte (que você deseja editar), você deve ter a fonte incluída no arquivo. Se você não precisa de edições, você pode ter a fonte "achatada" para que seja simplesmente um monte de linhas e pontos como qualquer outra forma.
Com o arquivo original, (.ai por exemplo, para o Adobe Illustrator), você pode facilmente exportar o logotipo para qualquer formato desejado (incluindo svg, eps, pdf, etc). Se o designer usou o photoshop para projetar o arquivo, certifique-se de obter o arquivo .psd.
Claro, se você não tiver o photoshop ou o illustrator, você definitivamente desejará pedir ao designer para exportar esses formatos para você. É muito trivial exportar o arquivo para diferentes formatos gráficos, por isso não tenha vergonha de pedir que alguns deles sejam feitos.
Para gráficos da Web, os arquivos .png agora são bastante padrão (mas o gif ou o jpeg funcionarão). A maioria dos programas modernos de layout de impressão aceita a maioria dos formatos gráficos (incluindo os próprios arquivos originais, se usar o Adobe InDesign), mas o .eps é bastante comum.