O modo privado apenas informa ao navegador para não manter histórico, cookies e afins. Não é um proxy anônimo.
A única maneira de fazer o que você quer é encontrar um servidor proxy na Internet em que você confie para atuar como um servidor proxy anônimo. Seu roteador ainda vai gravar que você foi para esse servidor, no entanto. Não há muito que você possa fazer sobre isso.