Isn't DHCP only the way my router gives me IP?
Não, é também o modo como o seu router lhe fornece informações adicionais - IP do gateway, IP do servidor DNS, nome de domínio predefinido, IP do servidor de horas, etc.
Why I can connect from Live USB to Internet normally, while in chroot I have to add new DNS?
O Linux armazena o endereço do servidor DNS em um arquivo. Como o chroot altera a forma como os programas veem os caminhos dos arquivos, isso significa que eles encontrarão um arquivo diferente no caminho /etc/resolv.conf , o que significa que possivelmente encontrarão um endereço diferente armazenado lá.
(Seu cliente DHCP não sabe nada sobre seus chroots, e somente atualiza o arquivo main /etc/resolv.conf - ele não pode pesquisar e atualizar todos arquivos possíveis.)
Uma solução comum é vincular (vincular) o caminho "interno" para que ele se refira ao mesmo arquivo "externo". Por exemplo, você pode fazer isso antes de chrooting para / mnt:
mount --bind /etc/resolv.conf /mnt/etc/resolv.conf
(Claro, depois você terá que desmontar isto antes que o sistema permita que você desmonte / mnt.)