Suponho que o email não está funcionando, pois não há retransmissão SMTP que o PC possa acessar. Se puder sair para a Internet, você poderá usar um serviço de nuvem para obter a mesma coisa. Por exemplo, eu uso rclone para enviar um arquivo de texto para o Dropbox contendo meu endereço DHCP mais recente.
O local para colocar o script seria em um arquivo crontab (um usuário de uma ou em /etc/cron.d ) com a programação especial @reboot que executa o script na inicialização do sistema. Assim:
@reboot /root/scripts/getcurrentip