Aspas simples não permitem expansão de variável. Assim, '$1' será um literal $1 . Em vez disso, você quer aspas duplas. Veja esta entrada na wiki sobre citações para mais.
$ foo=test
$ grep "\<$foo\>" file1
test
Observe que <\ e \> também podem ser substituídos por limites de palavras:
$ grep "\b$foo\b" file1
test
Você também não precisa cat de um arquivo para grep - ele pode ler um arquivo sozinho.