Você precisa de duas etapas para fazer isso funcionar:
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Configure a VPN site a site entre o Azure e sua rede.
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Configure manualmente o DNS para garantir que a VM use o controlador de domínio como seu 'servidor DNS'.
Para a primeira parte, siga este guia para configurar o S2S VPN.
Nota: você não precisa criar a nova VNET, basta selecionar a existente ao criar a conexão. Caso contrário, talvez seja necessário recriar sua VM para colocá-lo na nova VNET.
Para a segunda parte, use as configurações de DNS personalizadas. Aqui está a captura de tela do meu Azure: