A maioria dos softwares que você precisa é de código aberto.
Você precisará do seguinte:
Servidor (Linux):
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Nginx com Módulo RTMP (Módulos Nginx e RTMP precisarão ser compilados via fonte)
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FFmpeg (potencialmente precisará ser compilado da fonte)
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Um site criado com 4 players incorporados em uma página que pode transmitir o rtmp. (MediaElement, JW Player, Flow Player, HTML5 nativo são alguns players que suportam rtmp). Cada player na página precisará ser configurado para se conectar a cada rtmp de fluxo de dados de origem do cliente para o servidor nginx na máquina local.
Clientes do jogo
Existem tutoriais on-line que ajudarão você a chegar lá. No entanto, isso está além do escopo de suas perguntas. A questão 2 pode ser feita pragmaticamente depois que você tiver os fluxos na página do # 3 acima na configuração do servidor.
Espero que isso ajude você em algum lugar.
Se tudo mais falhar, sempre haverá Twitch .