Possível: sim. Apesar de improvável.
Suposições: unidades de 3 ½ polegadas geralmente precisam de mais energia do que você pode fornecer por USB. Para resolver isso, pode ser possível agrupar uma dúzia de cabos USB e algumas lógicas complexas, mas uma fonte de alimentação externa é muito mais comum.
E supondo que uma fonte de alimentação externa seja o caso de sua configuração, é improvável que eles gastem recursos extras para poder usar energia do barramento USB no caso de alguém colocar uma unidade fora do padrão (2½ "unidades em 3½ "gabinete não é padrão) e queria usar isso sem PSU.
Portanto, é muito improvável que funcione, já que agora o gabinete externo só tem acesso legal a uma fonte de energia (100mW @ 5v para USB2, 150mW para USB3 IIRC).
Eu escrevo 'legalmente', já que muitas implementações USB ainda oferecem mais energia, mesmo que o dispositivo não peça mais do que 1 lixeira de energia inicial. O que significa extrair mais poder sobre os circuitos que não precisam ser capazes de lidar com isso. Ainda assim, um caso improvável poderia ser feito para funcionar.
Resposta prática embora: Não.
Mas provavelmente você precisaria mudar alguma fiação e esperar que a conexão USB ofereça energia suficiente para rodar a unidade e a eletrônica, mesmo se a lógica externa