Certamente é possível supor que você possa obter uma cópia da versão correta do Windows 7 para instalar. É possível que, quando você verificar a série, ele possa baulk no novo hardware e você teria que tentar convencer a Microsoft para remover a assinatura de hardware antiga do banco de dados. Mas não faz mal (exceto por algum tempo perdido) ter uma chance.
A legalidade é um pouco mais complexa. O ponto principal é que você tem uma licença legal e você está usando apenas 1 cópia que parece bem. É só se a MS diria que a licença OEM é apenas para a máquina original.
Você certamente poderia usar o número de série original na máquina antiga com um novo disco, não há dúvidas sobre isso. Pessoalmente, daria uma olhada na nova máquina.
A propósito, isso não funciona com um PC com Windows 8+ porque o número de série é incorporado ao TPM. Você nunca consegue ver isso.
ATUALIZAÇÃO: Há vários artigos explicando como baixar legalmente a mídia de instalação do Windows. Tente Como baixar o Windows 7, 8, e 8.1 Mídia de Instalação - Legalmente do How-to Geek.