A resposta curta é não.
Os laptops de consumo só terão uma porta de saída de vídeo, nunca um vídeo. As placas de captura de vídeo são na verdade meio que de nicho, mesmo entre os desktops. O laptop danificado pode enviar qualquer sinal que ele goste, o outro não receberá.
Sua TV vai funcionar, você só precisa de um cabo diferente. A Dell tem VGA (azul com buracos) ou HDMI (banhado a ouro, como um USB maior)? Se o seu HDMI um HDMI direto para HDMI vai funcionar. Se o seu VGA e a TV tiverem apenas HDMI, use um adaptador VGA para HDMI. Um passivo como esse deve funcionar: link
Qualquer um que você faça, você pode precisar usar o WindowsKey + P para alternar as exibições. Conecte os cabos, ligue-o, espere que ele inicie totalmente (ouça o som que você recebe na tela de login), segure a tecla Windows e toque em P até que algo apareça na TV.