Eu tentaria assim:
#!/bin/bash
TODAY='date +%Y-%m-%d'
MODE=$1
DAY=$(date '+%A')
DATE=$(date '+%d')
if [[ ($DAY == "Sunday") || ($DATE == "01") || ($MODE == "Complete") ]] ; then
echo "Running backup as it is the either a Sunday the 1st of the Month or the script
was called with the parameter 'Complete'."
...................
fi
Alguns parênteses existem apenas para maior clareza.
Mas você deve ser cuidadoso, seu teste não reflete o que sua afirmação de eco afirma. O teste é avaliado como positivo em QUALQUER domingo, não apenas no primeiro dia do mês.