Eu acho que você está muito confuso.
- Você pode descobrir seu IP público usando as respostas para esta pergunta
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"I've learned that there are two kinds of IP addresses: private and multicast."
Não tem certeza de onde você ouviu isso, mas está errado. Multicast tem a ver com o envio de uma mensagem para mais de um servidor. Endereços IP privados são os blocos reservados que são sempre locais - O gateway padrão é um endereço local, não público
A "NAT thing"
é Tradução de endereços de rede e, no sentido de que você se importa, descobre como quando alguém deseja enviar informações para você e seu amigo, que estão na mesma rede e que um de vocês deseja alcançar.