Edit: Ocorre-me que talvez você esteja fazendo isso muito mais difícil do que precisa ser. : -)
What is the best way for me configure the PC successfully on my client's network without embarrassing myself?
Peça ao seu cliente a configuração de sua rede (IP / Subnet / Gateway / DNS / etc) antecipadamente e pré-configure o sistema antes da entrega. Então deve ser plug and go on site.
Note that the appliance has only 1 Ethernet port and 1 WLAN port.
São essas as portas somente do dispositivo, ou possui outras portas (padrão de PC), como USB / Vídeo / etc?
Meu instinto diz apenas para permitir que ele use DHCP, se o cliente tiver um servidor DHCP em execução em sua LAN. Você sempre pode usar um cruzamento para farejar o endereço MAC, se não for impresso ou facilmente visível em qualquer outro lugar. Essa será a solução mais fácil e portátil.
But after configuring the network settings, I'll not be able to RDP into the appliance from my laptop. Am I correct?
Como você pretende o RDP em primeiro lugar? Depois que as informações da rede estiverem definidas, basta modificar a configuração de rede do seu laptop para algo compatível que permita que você se comunique com o laptop novamente.
Além disso, com o Gigabit Ethernet, o Auto-MDIX é parte da especificação. Os cabos cruzados não são necessários se ambos os dispositivos tiverem NICs GigE.
I do not think that it is professional for me to lug along a monitor
Erm, eu acho que seria não profissional para você aparecer mal equipado para uma instalação de aparelhos. Se você precisar de um monitor, tenha um à mão se o cliente não puder ou não lhe fornecer um.
Alternativamente, você pode usar dispositivos como o ioGear GCS661U - é um KVM baseado em USB para usar um PC para controlar outro. Você poderia usar seu laptop para controlar o aparelho com isso via USB. Pode haver outros dispositivos melhores. Por acaso tenho um desses que recebi gratuitamente de um fornecedor como uma promoção. Ainda está fechado em sua embalagem clamshell desde que eu não tive a chance de experimentá-lo ainda. Mas parece que pode ser exatamente o tipo de coisa que você pode usar se o appliance tiver uma porta USB.