Este é um problema conhecido no Firefox:
Erro 1268550: As barras laterais não são exibidas adequadamente em Nova Janela Privada .
O relatório de erros oferece uma solução alternativa para janelas privadas para mostrar manualmente a barra lateral.
A decisão final da equipe do Firefox é de não permitir tal opção entretanto, até algum desenvolvimento futuro não especificado:
As for extensions, we should follow along with the Firefox default and not show a sidebar unless the user explicitly chooses to activate it on the Window. For some add-ons, like a Tab Center Redux, it clearly makes sense to keep it around, but for many other add-ons it really won't. Until we are able to provide fine grained control on that for a user, we'll just have to let users do it manually with an extra click.
Esta solução parece ser a única solução agora e no futuro próximo.