Minha suspeita é que os cookies de sessão feitos por esses sites estão marcados como HttpOnly, devido ao qual o Firefox não mantém os cookies no disco local e, portanto, não é capaz de recarregá-los quando o Firefox é reiniciado. Você pode verificar o mesmo comportamento em qualquer outro navegador? Você pode verificar o sinalizador HttpOnly, inspecionando o cabeçalho.