É improvável que você consiga recuperar os dados sozinho, mas há algumas coisas que você pode tentar. Abrir a unidade não é uma delas - se a unidade não for reconhecida pelo PC, o que implica uma falha na placa lógica, não um problema de bandeja, e a abertura do disco apenas agravará os seus problemas.
Tudo abaixo disso é uma possibilidade remota e pode recuperar seus dados ou dificultar / impossibilitar a recuperação. Não prossiga, a menos que tenha descartado contratar uma empresa profissional.
As duas opções mais comuns seriam colocar no disco em uma bolsa e congelá-lo. Em seguida, conecte-o e veja se ele é reconhecido - mesmo que apenas brevemente. Se for, você poderá usar uma ferramenta como ddrescue para obter dados até que pare, congele e repita.
Você também pode tentar examinar e recolocar a placa de controle - isso não exigirá a exposição dos pratos.
A última solução comum é tentar aquecer, ou seja, em um forno em fogo baixo.