O FTP ainda é usado, dependendo do host. No entanto, transferências FTP simples e não criptografadas são incomuns nos dias de hoje. Mais frequentemente, o FTPS (FTP sobre SSL) é usado. O FTPS ainda é essencialmente FTP para fins práticos, mas é executado com o protocolo TLS (Transport Layer Security) de 2048 bits, semelhante ao HTTP vs. HTTPS. Observe que FTPS e SFTP são duas coisas diferentes.
Em relação à hospedagem na Web, o único outro método de transferência de arquivos que vi usado regularmente (além do que foi discutido) é WebDAV .
Dito isto, se estiver a falar de aluguer de servidores ou de determinados serviços que oferecem alguma variação de aplicações Web, poderá ter FTP sobre SSH onde o FTP é encapsulado via SSH (que não é o mesmo que SFTP ou FTPS). Caso contrário, como @davidgo menciona, o SCP (Cópia segura) é outro método de transferência de arquivos.