Instalar o plugin Alerta de caixa de correio no Thunderbird
Depois disso, você pode personalizar muito:)
Talvez você também tenha interesse em receber notificações por bate-papo: Notificação de bate-papo do Thunderbird
Outro plugin interessante é FireTray para executar o Thunderbird em segundo plano.
IMPORTANTE Você não receberá notificações se o Thunderbird não estiver em execução.
Exemplo de como ativar notificações para o alerta de caixa de correio