[W]hy can't I access Apache from the intranet?
Porque o Apache aparentemente está vinculado a um adaptador de rede que não faz parte da intranet que você está tentando acessar.
Para ser claro, 192.168.1.xe 192.168.56.x são redes separadas neste caso (assumindo uma máscara de sub-rede de classe C padrão de 255.255.255.0).
O endereço que o Apache está usando (192.168.56.1) é provavelmente um IP padrão para um adaptador de rede virtual, usado para máquinas virtuais. O Apache parece ter selecionado esse adaptador / IP em resposta a uma diretiva Listen 80
genérica (como você mencionou).
I remember seeing a similar address when I was playing with Vagrant a few days ago, could it be related?
Isso pode estar relacionado. Se o Vagrant instalou qualquer adaptador de rede virtual, a menos que você tenha removido especificamente esses adaptadores, eles provavelmente ainda estarão ativos em seu sistema.
Se você definitivamente não estiver usando esse adaptador de rede virtual, talvez deseje removê-lo completamente.
Em qualquer caso, você pode ligar o Apache (conforme necessário) a um IP especificado no httpd.conf com uma diretiva de escuta mais específica, por exemplo,
Listen 192.168.1.66:80
Por favor, note que, desde que você fez comentários sobre o Vagrant, estou assumindo que seu servidor / aplicativo não está sendo executado em uma VM. Se for (talvez digamos que você esteja executando o VirtualBox), será necessário ajustar as configurações da VM para torná-la acessível à intranet.