Você tem dois problemas aqui e está misturando-os ...
Problema 1: ESP com lixeira
Com base na sua descrição e, em particular, na afirmação de que você "formatou acidentalmente a [sua] partição de inicialização do uefi", parece que sua A partição do sistema EFI (ESP) é destruída. Este é um problema sério porque o ESP possui gerenciadores de partida para ambos Windows e Linux. Assim, quando você destruiu seu ESP, você tornou ambos os sistemas operacionais não inicializáveis, e não é possível restaurar a capacidade de inicialização de um sistema operacional do outro sistema operacional - pelo menos, não sem um backup dos arquivos que estavam no ESP. Assim, você pode precisar usar as ferramentas de recuperação do Windows para restaurar o carregador de inicialização do Windows. Eu não estou muito familiarizado com essas ferramentas, então não posso fornecer muita ajuda sobre isso. Além disso, update-grub por si só não ajudará, já que essa ferramenta simplesmente atualiza o arquivo de configuração do GRUB, que pode não ter sido danificado, dependendo dos detalhes da configuração do GRUB. Em vez disso, você precisaria usar grub-install para reinstalar o GRUB no ESP.
Uma ressalva aos comentários anteriores é que é legal ter vários ESPs em um disco. Você afirma que seu ESP é /dev/sda5 , que é um número de partição incomum para um ESP. (O ESP é geralmente a primeira ou segunda partição no disco.) Portanto, é possível que o carregador de inicialização do Windows permaneça intacto, presumivelmente em /dev/sda1 ou /dev/sda2 , e que você simplesmente tenha descartado o GRUB em /dev/sda5 . Minha suspeita, porém, é que você tem apenas um ESP em um local incomum (talvez este seja o resultado da instalação manual do Linux e do Windows, ou reconfiguração de suas partições em algum momento).
Observe que, no EFI, o GRUB não inicializa o Windows a partir de uma partição do Windows; em vez disso, carrega o gerenciador de inicialização do Windows, que é armazenado em um ESP. O ESP, por definição, usa FAT, não NTFS, então as mensagens sobre erros NTFS são um arenque vermelho, pelo menos para o seu problemas imediatos de inicialização. (Consulte meu "Problema 2" abaixo.) Como update-grub é usado em instalações baseadas em BIOS e EFI, ele pode tentar verificar seus volumes NTFS, mas isso é inútil em um sistema baseado em EFI.
Observe que, quando você reinstala o carregador de boot de um sistema operacional, esse carregador de inicialização se tornará o padrão. Assim, é melhor reparar o Windows primeiro e só então consertar o Linux. Como você provavelmente está usando o GRUB como um gerenciador de inicialização (para controlar qual sistema operacional será inicializado), assim como um gerenciador de inicialização, se você for na outra ordem, precisará ajustar a ordem de inicialização depois de corrigir o Windows. Você pode fazer isso com EasyUEFI no Windows; ou inicializando um disco de emergência do Linux e usando efibootmgr e, em particular, sua opção -o . Algumas EFIs também permitem ajustar a ordem de inicialização usando as opções do utilitário de configuração, mas os detalhes de como fazer isso variam de um computador para outro.
Olhando para o futuro, eu recomendo strongmente que você faça um backup do seu ESP. Com um backup em vigor, a recuperação desse tipo de problema se torna muito mais fácil. A inicialização do modo EFI envolve o acesso a arquivos em um sistema de arquivos FAT, portanto, um backup simples em nível de arquivo (usando cp , zip , tar ou ferramentas semelhantes) é perfeitamente adequado. O ESP é pequeno, então você provavelmente pode armazenar um backup em uma unidade flash USB.
Problema 2: hibernação do Windows
A mensagem sobre a hibernação do Windows não está relacionada ao seu problema atual de inicialização; no entanto, revela uma questão igualmente importante. Especificamente, a hibernação em um ambiente de inicialização dupla provavelmente criará problemas. Ao deixar os sistemas de arquivos em um estado inconsistente, a hibernação de um SO faz com que o outro SO não consiga acessar esse sistema de arquivos; e se tentar fazer isso, pode resultar em danos no sistema de arquivos. Infelizmente, o Windows 8 e posteriores transformam as operações de desligamento em operações de hibernação, no interesse de reduzir os tempos de inicialização. Portanto, é imperativo que você desabilite esse recurso "Inicialização rápida", como é chamado no Windows. Para o Windows 8, as instruções sobre como desativar o Fast Startup podem ser encontradas aqui, entre outros lugares. Para o Windows 10, consulte aqui; mas também Certifique-se de desativar o Hibernate no Windows 10, conforme descrito aqui.
Observe que o utilitário ntfsfix do Linux não executa efetivamente qualquer reparo significativo; ele só faz os reparos mais básicos e sinaliza o sistema de arquivos como requerendo atenção no Windows. Assim, a utilidade de ntfsfix é limitada na melhor das hipóteses.