Para responder à sua primeira pergunta, isso é chamado de "notificação push". Aqui está um recurso que eu encontrei sobre como habilitá-los
Como seu telefone não está se conectando primeiro: Eu não acredito que isso seja possível devido ao fato de que, por definição, seu telefone é móvel, o que significa que seu endereço IP mudará constantemente conforme você cruza sites de celular ou se conecta a diferentes pontos de acesso Wi-Fi. No mínimo, o seu telefone deve informar ao servidor onde você está quando o seu IP mudar. Essas mensagens são muito pequenas (menos de 100 bytes) e não devem afetar muito sua largura de banda (você teria que enviar 1.048.576 dessas mensagens para atingir até um megabyte).