10Base-2 não é o mesmo que "Ethernet over coax", embora o cabo usado para isso seja tecnicamente um cabo coaxial. Ethernet over coax é sobre a reutilização de um cabo de TV a cabo ou CATV existente. O cabo 10Base-2 tem uma impedância diferente. Para esta resposta eu assumo que você realmente tem 10Base-2 rodando sob o seu quintal da frente.
Para fazer isso da maneira certa, você precisa de outro conversor de mídia, também chamado de transceptor, para conectar a entrada Ethernet em um novo PC à rede 10Base-2 que você tem sob seu pátio. Você ligaria como se fosse o roteador na outra extremidade. (Mas veja abaixo sobre o aterramento.) Estou surpreso que estes ainda estão sendo feitos. Um usado seria ótimo, já que não há partes móveis ou drivers de software.
Como o @marctxk disse em um comentário, os hubs Ethernet 10Base-T geralmente tinham esse recurso embutido, com um conector BNC para 10Base-2 na parte de trás. Isso foi em parte para facilitar a transição para o par trançado, e em parte porque o 10Base-2 ainda era uma maneira conveniente de interconectá-los. Claro, você teria algumas portas não utilizadas, mas não vejo como isso é importante se você puder encontrar uma barata.
No entanto, devo salientar que o 10Base-2 tem uma velocidade máxima de 10Mbps, que é literalmente 100 vezes mais lenta do que a Ethernet típica (para uso doméstico) atualmente. Você pode querer pensar em alternativas, como talvez WiFi com antenas direcionais externas.
Quanto a encontrar um PC que ainda tenha slots PCI e reutilize sua placa de interface de rede existente, concordo com sua preocupação com os drivers de dispositivo. Se o seu cartão fosse uma marca e um modelo comuns, como o onipresente 3Com 3c5x9, os drivers de dispositivo provavelmente estariam disponíveis. Mas a partir de sua foto embaçada que não parece ser o caso.
Além disso, você mencionou que sua casa e galpão têm serviço elétrico separado. Isso significa que você tem que ter um cuidado especial sobre se e onde você aterrou esse cabo. Acima de tudo, você não quer que ele esteja ancorado em ambas as extremidades, porque isso criará um loop de aterramento.
O 10Base-2 foi projetado para ser aterrado - apenas em uma extremidade - através da corrente mostrada na foto. Ele vai para um parafuso de aterramento próximo ao conector BNC, que é conectado ao terra do chassi. Se o seu não for aterrado, provavelmente você está bem. Mas se você aterrá-lo no final do roteador, você não deve também aterrá-lo no final do PC.