A latência que você está vendo ao efetuar ping em seu próximo salto (192.168.10.253) é ridiculamente alta.
Além do dispositivo do seu parceiro, você pode testar a latência do ping de outro dispositivo conectado a esse AP? Se parecer lento para você, você precisará investigar o seu computador. Tente se conectar via LAN e execute os mesmos testes de ping. Isso deve indicar a você se isso pode ser um problema com seu adaptador WLAN.
Em relação ao Teamviewer, acredito que o cliente TeamViewer tentará usar as configurações de proxy do sistema por padrão (se houver algum configurado). O primeiro lugar para verificar será o Painel de Controle > Opções da Internet > Guia Conexões > Configurações de lan. Se os detalhes do Proxy foram configurados nesta seção e você não está esperando, fique à vontade para removê-los. Se nenhuma configuração de proxy estiver configurada, observe as configurações de rede do TeamViewer para ver se um Proxy foi configurado manualmente por qualquer motivo.
Embora seja possível que um software malicioso tenha confirmado as configurações de proxy em seu PC, isso não deve afetar o tráfego ICMP (ping), pois somente o tráfego da web é intermediado por proxy.