Se você recebeu a atualização gratuita do Windows 10, a licença para isso não pode ser transferida para outra máquina.
Teoricamente, você poderia fazer o que sugerir e simplesmente conectar a unidade em um novo computador, inicializá-lo e esperar que os drivers sejam atualizados automaticamente. A instância do Windows 10 seria então reportada como não genuína (e impõe restrições) até que você comprasse uma nova licença.
Se o seu objetivo principal é ser capaz de usar seus arquivos acumulados, pode ser melhor obter um adaptador USB-para-SATA e apenas tratar a unidade como armazenamento externo.