Existem duas maneiras possíveis de conseguir o que você quer.
Primeiro, há a extensão MinimizeToTray para o Thunderbird. Está disponível para Linux e Windows em x86 e x64. Como não uso mais o Thunderbird, não sei se ainda funciona.
Depois, há RBTray . Ele vem nas versões x86 e x64. Usando essa ferramenta, você pode minimizar qualquer janela (normal) para a bandeja clicando com o botão direito do mouse no botão Minimizar janela. Ele é executado em segundo plano, por isso, não se preocupe quando nada acontecer depois de iniciá-lo.
Além disso, com x86 e x64, se não for sobre drivers, você não deve olhar para a arquitetura do sistema operacional, mas sim para o seu programa. Isso também é importante para o RBTray. Como ele injeta uma DLL nos aplicativos, a arquitetura da DLL deve corresponder à arquitetura do aplicativo. A arquitetura do sistema operacional não é relevante neste caso.