Isso acontece porque o comando date é expandido (e, portanto, executado) apenas uma vez, ou seja, quando você invoca /bin/bash -c ou o outro comando run .
Tudo o que você precisa fazer é citar o script para que o comando date seja executado a cada iteração. Aspas duplas " expandirão o comando, aspas simples ' não:
/bin/bash -c 'while true; do echo ['date +%F%t%T%t%Z'] Keep Alive; sleep 1; done'