but I can't ping my own computer. This means that I can't scp a file over to my home computer
Não necessariamente. A capacidade de executar ping no computador não confirma nem nega a capacidade de se conectar por meio de qualquer outro protocolo. Não esperaria que você conseguisse fazer ping em seu computador de casa a partir de um host externo.
Se o seu computador iniciar a transferência de arquivos SCP, eu esperaria que ele funcionasse, assim como acontece com qualquer outro protocolo (HTTP, SMTP, etc.) quando o computador inicia a comunicação, a menos que o TWC bloqueie explicitamente o tráfego SCP. Você já tentou isso?
Se você quer dizer que o servidor iniciará a transferência do SCP, será necessário permitir a (s) porta (s) apropriada (s) para o seu computador doméstico no firewall da sua casa.