Você pode configurar uma entrada de DNS como staging.mydomain.com
e fazer com que o cliente veja isso.
Outra forma seria usar mod_rewrite e mod_proxy no servidor, nesse caso você não teria que falar com o cliente ...
Nesse caso, você vai querer fazer algo assim no Servidor A:
NameVirtualHost *
<VirtualHost *>
ServerName owncloud.mydomain.com
ProxyRequests Off
<Proxy *>
Order deny,allow
Allow from all
</Proxy>
ProxyPass / http://192.168.0.10:80/
ProxyPassReverse / http://192.168.0.10:80/
<Location />
Order allow,deny
Allow from all
</Location>
</VirtualHost>
Dependendo do seu aplicativo, talvez seja necessário usar um ou todos os itens a seguir:
X-Forwarded-For - The IP address of the client.
X-Forwarded-Host - The original host requested by the client in the Host HTTP request header.
X-Forwarded-Server - The hostname of the proxy server.
Dê uma olhada na documentação do mod_proxy para mais dicas e truques.
Referências