Eu entendo que você quer saber o que acontece com um aplicativo que tenta gravar em um arquivo se o disco estiver cheio.
A resposta é que a chamada write() retornará ENOSPC .
Como uma aplicação em particular responde a esse erro irá variar, mas para o mysql parece que vai lançar um erro semelhante ao seguinte: Error writing file '/var/log/mysql.log' (Errcode :28)
Em que perror 28 mostra: OS error code 28: No space left on device