A solução passou a ser completamente inesperada e direta ao mesmo tempo: Instalar o Logitech SetPoint Software (em Windows ou em Mac ), vá para Meu teclado - > Configurações da tecla F.
Lá você poderá encontrar Swap F key functions - tick e clicar apply .
A coisa mais importante, que SetPoint escreve e salva essas configurações diretamente no hardware e, como resultado, ele funciona de maneira programada depois, mesmo depois de reboot / shutdown e todos os outros sistemas .
EDIT 1:
Se você desligar / ligar o teclado usando o interruptor, as configurações serão redefinidas para os padrões, mas como não há necessidade para isso, tudo bem.