Todos os roteadores têm pelo menos duas interfaces de rede. Em nome dessa resposta, assuma uma configuração doméstica típica em que o roteador tenha apenas duas interfaces - a WAN ethernet e a LAN + wireless ethernet (normalmente conectadas juntas, de modo que seja efetivamente uma única interface).
O que acontece é que o roteador emite uma solicitação DHCP em sua interface WAN e, em seguida, o servidor DHCP do ISP responde com informações públicas de IP. O roteador então usa isso para configurar o IP da interface WAN.
O próprio roteador geralmente executa seu próprio servidor DHCP, que distribui IPs àqueles conectados via LAN. Ele não fornece um IP para a interface WAN.
A alternativa é APIPA, em que o dispositivo seleciona um IP aleatório no intervalo APIPA, emite um ARP para ver se alguém o está usando e, em seguida, começa a usá-lo se ninguém responder. Isso é ruim se você quiser usar qualquer sub-rede diferente da sub-rede APIPA.
A autoconfiguração do IPv6 funciona de maneira semelhante.
Eu não tenho muita experiência no Ardunio, mas parece que você precisa de uma funcionalidade de cliente DHCP em algum lugar lá.